klar zum Arzt zur Behandlung des akuten Problems. Verschiedene Ärzte können auch verschiedene Diagnosen stellen und Maßnahmen verordnen. Manche gehen gegen die Symptome vor und verschreiben Pillen, naja, manche versuchen die Ursachen zu beseitigen, und das finde ich viel interessanter.

Zu deinen Fragen:
Bist du Rechtshänder? Rechte Hand und Arm sind stärker, daher stecken die das vielleicht eher weg als links.
Bin auch mal mit Schmerzen im linken Handgelenk zu nem Sportarzt, er fragte direkt ob ich viel Fahrrad fahre, und das in der "Schimpansenhaltung", wie er es ausdrückte, also wenig aufrecht, z.B. aufm MTB, mit nach oben abgeknicktem Hals. Eine Nerv der da oben durch Verspannungen eingeklemmt wird kann Schmerzen in der Hand verursachen (Bei dir könnte es aber allerdings auch etwas anderes sein wenn es bei kleiner Belastung zusätzlich weh tut - also ab zum Arzt wenns nicht schnell besser wird). Probier mal möglichst aufrechtes Sitzen aus: Kurzer, hoher Vorbau und Riser mit Kröpfung (oder viel freihändig fahren ;-)).
Lenker-Griff-Kombis die das Handgelenk nicht abknicken sind kein Fehler.